Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{6 x^{2} + 16 x} = \sqrt{3 x + 35}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{6 x^{2} + 16 x}}^{2} = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x^{2} + 16 x}$ como ${(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 x^{2} + 16 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 x^{2} + 16 x)}^{1} = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$6 x^{2} + 16 x = {\sqrt{3 x + 35}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe ${\sqrt{3 x + 35}}^{2}$ como $3 x + 35$ .

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Paso 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 35}$ como ${(3 x + 35)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 16 x = {({(3 x + 35)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} + 16 x = {(3 x + 35)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 x^{2} + 16 x = {(3 x + 35)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} + 16 x = {(3 x + 35)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$6 x^{2} + 16 x = {(3 x + 35)}^{1}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

$6 x^{2} + 16 x = 3 x + 35$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} + 16 x - 3 x = 35$

Paso 3.1.2

Resta $3 x$ de $16 x$ .

$6 x^{2} + 13 x = 35$

Paso 3.2

Resta $35$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} + 13 x - 35 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 6$ , $b = 13$ y $c = - 35$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 35)}}{2 \cdot 6}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 6 \cdot - 35}}{2 \cdot 6}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 35$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 24 \cdot - 35}}{2 \cdot 6}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 24$ por $- 35$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 840}}{2 \cdot 6}$

Paso 3.5.1.3

Suma $169$ y $840$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{13 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{13 + \sqrt{1009}}{12}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{13 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{13 + \sqrt{1009}}{12}$

Forma decimal:

$x = 1.56373002 \dots, - 3.73039669 \dots$